分离概率与Zagier-Stanley公式的类似物

本文中，我们首先获得了Zagier（1995）与Stanley（2011）一个公式的若干类似物。例如，我们证明：当 $n-k$ 为偶数时，其乘积有 $k$ 个循环且 $m$ 个给定元素位于不同循环（或被分离）的 $n$-循环对的数目由 $$\frac{2 (n-1)! C_m(n+1,k)}{(n+m)(n+1-m)}$$ 给出，其中 $C_m(n,k)$ 是 $n$ 个元素有 $k$ 个循环且分离 $m$ 个给定元素的排列数。作为推论，我们得到了由Du和Stanley给出的某些分离概率公式，回应了Stanley对简单组合证明的呼吁。此外，我们得到了两个随机 $n$-循环乘积中不动点个数的期望与方差。