关于两两交换置换的 $\ell$ 元组的模 $3$ 性质

令 $S_n$ 表示作用于 $n$ 个元素上的对称群。我们研究双重序列 $\{N_{\ell}(n)\}$，它计数对称群 $S_n$ 中元素的 $\ell$ 元组的数量，其中各分量可交换，并以 $S_n$ 的阶进行归一化。我们的重点在于探索关于 $n$ 的对数凹性：$$N_{\ell}(n)^2 - N_{\ell}(n-1) \,\, N_{\ell}(n+1) \geq 0.$$ 我们证明，对于足够大的 $\ell$，这取决于 $n \pmod{3}$。Bryan 和 Fulman 将这些数作为第 $n$ 个轨形特征进行研究，推广了 Macdonald 与 Hirzebruch--Hofer 关于对称乘积的普通 Euler 特征与弦论 Euler 特征的工作。值得注意的是，$N_2(n)$ 表示分拆数 $p(n)$，而 $N_{3}(n)$ 表示 Liskovets 和 Medynkh 研究的环面的不等价 $n$ 叶覆盖的数量。这些数也出现在代数中，因为 $\vert S_n \vert \,\, N_{\ell}(n) = \left\vert Hom \left( \mathbb{Z}^{\ell},S_n\right) \right\vert$。