关于$\ell$元组两两交换置换的Bessenrodt–Ono不等式

设$S_n$表示对称群。我们考虑 \begin{equation*} N_{\ell}(n) := \frac{\left\vert Hom\left( \mathbb{Z}^{\ell},S_n\right) \right\vert}{n!} \end{equation*} 该式也计数了$\ell$元组$\pi=\left( \pi_1, \ldots, \pi_{\ell}\right) \in S_n^{\ell}$（其中对于$1 \leq i,j \leq \ell$有$\pi_i \pi_j = \pi_j \pi_i$）的个数除以$n!$。Dey、Wohlfahrt、Bryman和Fulman以及White已经发现了递推公式、生成函数和欧拉乘积。设$a,b, \ell \geq 2$。Bringman、Franke和Heim已知，Bessenrodt–Ono不等式 \begin{equation*} \Delta_{a,b}^{\ell}:= N_{\ell}(a) \, N_{\ell}(b) - N_{\ell}(a+b) >0 \end{equation*} 对于$a,b \gg 1$成立，而Bessenrodt和Ono已知该不等式对于$\ell =2$且$a+b >9$成立。在本文中，我们证明对于每一对$(a,b)$，$\{\Delta_{a,b}^{\ell} \}_{\ell}$的符号是稳定的。在每种情况下，我们都给出了一个显式界。Bryan和Fulman已将数$N_{\ell}\left( n\right)$识别为第$n$个轨形特征标，推广了Macdonald以及Hirzebruch–Höfer关于对称积的普通和弦理论欧拉示性数的工作，其中$N_2(n)=p(n)$表示分拆函数。