具有换位子条件的对称群生成概率

设 $B(n)$ 是 $n$ 次对称群中具有3-循环换位子的置换对集合，$A(n)$ 是那些生成 $n$ 次对称群或交错群的置换对集合。我们找到了计算这两个集合基数的有效公式。更精确地，我们证明 $\#B(n)/n!$ 是划分函数与除数函数线性组合的离散卷积，而 $\#A(n)/n!$ 是一个多项式与Jordan totient函数的乘积。特别地，由此得出，具有3-循环换位子的随机置换对生成 $n$ 次对称群或交错群的概率随着 $n$ 趋于无穷而趋于零，这与Dixon的经典结果形成对比。我们证明的关键要素是19世纪的Jordan定理、20世纪的Ramanujan公式以及21世纪初法国数学家Lelièvre和Royer发展的方砖曲面技术。本文利用并强调了代数、几何和数论之间的优雅联系。