关于对称群中因子集的基数

设 $n$ 为正整数，$\sigma$ 为对称群 $\mathcal{S}_n$ 中的一个元素，且 $\sigma$ 为长度为 $n$ 的轮换。若存在自然数 $k$ 和 $l$ 使得 $\sigma^k \alpha =\beta\sigma^l$，则称元素 $\alpha ,\beta \in \mathcal{S}_n$ 是 $\sigma$-等价的，这等价于存在自然数 $k_1$ 和 $l_1$ 使得 $\alpha = \sigma^{k_1} \beta\sigma^{l_1}$。在本文中，我们考察了如此定义的等价关系的一些性质。我们构建了一个有限有向图 $\Gamma_n$，借助该图描述了一种算法，用于解决寻找该关系下等价类数量的组合问题。