非阿贝尔 Sidon 集的新构造与上界及其于 Turán 类型问题的应用

群 $\Gamma$ 中的 $S_k$-集是指满足 $\alpha_1\cdots\alpha_k=\beta_1\cdots\beta_k$ 且 $\alpha_i,\beta_i\in A$ 暗含 $(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)=(\beta_1,\ldots,\beta_k)$ 的集合 $A\subseteq\Gamma$。$S_k'$-集是指满足 $\alpha_1\beta_1^{-1}\cdots\alpha_k\beta_k^{-1}=1$ 暗含存在 $i$ 使得 $\alpha_i=\beta_i$ 或 $\beta_i=\alpha_{i+1}$ 的集合。我们给出 $S_n$ 中大型 $S_k$-集以及 $S_n\times S_n$ 和 $A_n\times A_n$ 中 $S_2$-集的显式构造。我们还给出针对“良好”群的概率构造，获得 $A_n$ 中的大型 $S_2$-集和 $S_n$ 中的 $S_2'$-集。我们另给出若干群中 $S_k$-集大小的上界，通过常数因子改进平凡上界。我们描述了 $S_k$-集与极值图论之间的某些联系。具体而言，我们确定保证具有特定定向偶循环的有向图的最小出度（在常数因子内）。作为应用，我们改进了两部分循环给定长度的哈密顿路径数对的上界，并指出有向图的 Erd\H{o}s-Simonovits 紧凑性猜想是错误的。