关于 $SL_n(\mathbb{Z})$ 中有限指数子群的 Kazhdan 常数

我们证明，对于 $SL_n(\mathbb{Z})$ 中的任意有限指数子群 $\Ga$，存在 $k=k(n)\in\mathbb{N}$、$\ep=\ep(\Ga)>0$ 以及 $\Ga$ 中一个无限族的有限指数子群，这些子群关于一个阶为 $k$ 的生成集的 Kazhdan 常数大于 $\ep$。另一方面，我们证明，对于 $SL_n(\mathbb{Z})$ 中的任意有限指数子群 $\Ga$，以及任意 $\ep>0$ 和 $k\in \mathbb{N}$，存在一个有限指数子群 $\Ga'\leq \Ga$，使得 $\Ga'$ 中任意有限指数子群关于任何阶为 $k$ 的生成集的 Kazhdan 常数都小于 $\ep$。此外，我们证明主同余子群 $\Gamma_n(m)$ 关于由初等矩阵（及其共轭）构成的生成集的 Kazhdan 常数大于 $\frac{c}{m}$，其中 $c>0$ 仅依赖于 $n$。对于固定的 $n$，这个界是渐近最优的。