半阿贝尔簇中自映射轨道与子群的交集

设 $G$ 为定义在代数闭域 $K$ 上的半阿贝尔簇，赋予有理自映射 $\Phi$。令 $\alpha\in G(K)$，并令 $\Gamma\subseteq G(K)$ 为有限生成子群。我们证明集合 $\{n\in\mathbb{N}\colon \Phi^n(\alpha)\in \Gamma\}$ 是有限个等差数列的并加上一个 Banach 密度为 $0$ 的集合。此外，假设 $\Phi$ 是正则的，我们证明集合 $S$ 必为有限。