有限群、极小基与交数

设 $G$ 为有限群，并回顾 Frattini 子群 ${\rm Frat}(G)$ 是 $G$ 的所有极大子群的交。在本文中，我们研究 $G$ 的交数，记为 $\alpha(G)$，即交与 ${\rm Frat}(G)$ 重合的极大子群的最少个数。在先前的工作中，我们研究了 $G$ 为单群这一特殊情况下的 $\alpha(G)$，而此处我们将分析推广到几乎单群。特别地，我们证明对每个几乎单群 $G$ 有 $\alpha(G) \leqslant 4$，这是最佳可能的。我们还建立了关于任意有限群交数的新结果，得到了以群的主因子定义的上界。最后，对几乎单群 $G$，我们给出了一个相关不变量 $\beta(G)$ 的最佳可能界，我们称之为 $G$ 的基数。在此情形下，$\beta(G)$ 是当我们遍历该群所有忠实本原作用时 $G$ 的极小基大小，并且我们证明界 $\beta(G) \leqslant 4$ 是最优的。在此过程中，我们研究了对称群 $S_{ab}$ 在 $[1,ab]$ 划分为 $a$ 个大小为 $b$ 的划分集合上的本原作用的基，确定了 $a \geqslant b$ 时的精确基大小。这推广了 Benbenishty、Cohen 和 Niemeyer 的早期工作。