度为 $pq$ 的非本原群的交密度

有限传递群 $G\leq \operatorname{Sym}(\Omega)$ 的一个子集 $\mathcal{F}$ 称为\emph{相交的}，若 $\mathcal{F}$ 中任意两个元素在 $\Omega$ 的某个元素上一致。群 $G$ 的\emph{交密度}为数值 $$\rho(G) = \max\left\{ \mathcal{|F|}/|G_\omega| \mid \mathcal{F}\subset G \mbox{ 是相交的} \right\},$$ 其中 $\omega \in\Omega$，$G_\omega$ 是 $G$ 中 $\omega$ 的稳定子。已知若 $G\leq \operatorname{Sym}(\Omega)$ 是度为两个奇素数乘积 $p>q$ 的非本原群，且容许一个大小为 $p$ 的区组或两个完整的区组系（其区组大小为 $q$），则 $\rho(G) = 1$。本文中，我们基于在区组上诱导作用的核，分析具有唯一大小为 $q$ 的区组系、度为 $pq$ 的非本原群的交密度。对于核非平凡的那些群，证明了只要存在一个参数为 $[p,k]_q$ 的循环码 $C$，使得 $C$ 的任意码字重量至多为 $p-1$，且在该循环码的一些附加条件下，其交密度大于 $1$ 且为一个真有理数。对于拟本原的那些群，我们将情形归约为包含 $\operatorname{Alt}(5)$ 或射影特殊线性群的几乎单群。我们给出了一些例子，在 $p$ 与 $q$ 的某些限制下，后者交密度等于 $1$。