关于$\operatorname{PSL}_2(q)$的交谱

给定群$G$与子群$H \leq G$，若对任意$g,g' \in \mathcal{F}$，存在$xH \in G/H$使得$gxH=g'xH$，则称集合$\mathcal{F}\subset G$为$H$\emph{-相交}的。群$G$通过(左)乘法在$G/H$上作用的\emph{相交密度}为有理数$\rho(G,H)$，等于最大比值$\frac{|\mathcal{F}|}{|H|}$，其中$\mathcal{F} \subset G$取遍$G$的所有$H$-相交集合。群$G$的\emph{交谱}则定义为集合$$\sigma(G) := \left\{ \rho(G,H) : H\leq G \right\}.$$ Bardestani与Mallahi-Karai [{\it J. Algebraic Combin.}, 42(1):111-128, 2015]证明若$\sigma(G) = \{1\}$，则$G$必为可解群。因此自然产生的问题是：当$G$不可解时，哪些大于$1$的有理数属于$\sigma(G)$。本文研究线性群$\operatorname{PSL}_2(q)$的交谱。我们证明对任意满足$q\equiv 3 \pmod 4$的素数幂$q$，有$2 \in \sigma\left(\operatorname{PSL}_2(q)\right)$。此外，当$q\equiv 1 \pmod 4$时，证明了对于Borel子群(同构于$\mathbb{F}_q\rtimes \mathbb{Z}_{\frac{q-1}{2}}$，由所有上三角矩阵组成)中包含$\mathbb{F}_q$的任意奇指数子群$H$，有$\rho(\operatorname{PSL}_2(q),H)=1$。