关于圈之并的Hilton-Spencer相交定理

若族$\mathcal{A}$中任意两集合相交，则称其为相交族。若相交族的集合有公共元素，则称其为\emph{平凡}的。若图$G$的独立$r$元集的最大相交族中至少有一个是平凡的，则称$G$为$r$-EKR的。令$\alpha(G)$和$\omega(G)$分别表示$G$的独立数和团数。Hilton与Spencer最近证明：若$G$为圈${_*C}$的$k^*$次幂与$s$个圈${_1C},\dots,{_sC}$的$k_1,\dots,k_s$次幂（分别）的顶点不交并，$1\leq r\leq\alpha(G)$，且$$\min\big(\omega(_1C^{k_1}),\dots,\omega(_sC^{k_s})\big)\geq 2k^*+1,$$则$G$是$r$-EKR的。他们曾证明若将${_*C}$替换为一条路，且团数条件放宽为$$\min\big(\omega(_1C^{k_1}),\dots,\omega(_sC^{k_s})\big)\geq k^*+1,$$结论同样成立。我们利用Katona经典的阴影相交定理，对最小团数不等式严格成立的情形给出了上述两结果的简短证明。