关于对称群作用在小尺寸均匀子集上的交集密度

给定有限传递群 $G\leq \operatorname{Sym}(\Omega)$，若 $G$ 的子集 $\mathcal{F}$ 中任意两个元素在 $\Omega$ 的某个元素上取值一致，则称 $\mathcal{F}$ 是\emph{相交的}。$G$ 的\emph{交集密度}记为 $\rho(G)$，定义为当 $\mathcal{F}$ 遍历 $G$ 中所有相交集时，有理数 $|\mathcal{F}|\left(\frac{|G|}{|\Omega|}\right)^{-1}$ 的最大值。在本文中，我们证明：若 $G$ 是作用在 $\{1,2,3\ldots,n\}$ 的 $k$-子集上的群 $\operatorname{Sym}(n)$ 或 $\operatorname{Alt}(n)$，其中 $k\in \{3,4,5\}$，则 $\rho(G)=1$。我们的证明依赖于对称群的表示理论与比率界。