群的直接积与圈积中的最大相交集

对于作用在集合 $V$ 上的置换群 $G$，若 $G$ 的子集 $I$ 满足对任意 $g,h\in I$ 均存在 $v \in V$ 使得 $g(v) = h(v)$，则称 $I$ 为相交集。传递置换群 $G$ 的交密度 $\rho(G)$ 定义为商 $|I|/|G_v|$ 的最大值，其中 $G_v$ 是点 $v\in V$ 的稳定子，且 $I$ 取遍 $G$ 中所有相交集。若 $G_v$ 是 $G$ 中最大的相交集，则称 $G$ 具有 Erd\H{o}s-Ko-Rado (EKR) 性质；此外，若 $G$ 中每个最大尺寸的相交集都是某点稳定子的陪集，则称 $G$ 具有严格 EKR 性质。$G$ 中的相交集与所谓错排图 $\Gamma_G$ 中的独立集一致，该图定义为以 $G$ 为顶点集、连接集由所有错排（即 $G$ 中无不动点的元素）构成的 Cayley 图。本文证明了 Meagher、Razafimahatratra 与 Spiga 在 [J.Combin. Theory Ser. A 180 (2021), 105390] 中提出的一个关于存在其错排图为完全多部图的传递置换群的猜想。证明使用了群的直接积。本文还研究了群的直接积与圈积中最大相交集的相关问题以及这些群积的（严格）EKR 性质。此外，修正了文献中出现的若干错误。