二维线性群不存在 Hilton-Milner 型结果

有限传递置换群 $G\leq \operatorname{Sym}(\Omega)$ 的置换集合 $\mathcal{F}$ 称为相交的，若 $\mathcal{F}$ 中任意两个元素在 $\Omega$ 的某个元素上一致。若 $G$ 的相交集合的大小至多为点稳定子的阶，则称 $G$ 具有 EKR 性质。此外，若 $G$ 具有 EKR 性质且任意最大大小的相交集合都是 $G$ 的点稳定子的陪集，则称 $G$ 具有 strict-EKR 性质。已知置换群 $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_q)$ 作用于 $\Omega_q := \mathbb{F}_q^2\setminus\{0\}$ 具有 EKR 性质，但不具有 strict-EKR 性质，因为超平面的稳定子是一个最大相交集合。本文证明了 Hilton-Milner 型结果对作用于 $\Omega_q$ 的 $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_q)$ 不成立。确切地说，证明了 $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_q)$ 的一个极大相交集合具有最大大小。由此，我们证明了 $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_{q})$ 上的完全 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理。