P-寡态群的分类与Cameron和Macpherson猜想

设G为可数集E上的置换群。G的剖面是函数phi，它对每个n计数G在E的n-子集上的轨道数phi(n)。以此方式产生的计数函数及其相关的生成级数构成一个丰富但显然受到强烈约束的类。特别地，Cameron在七十年代末猜想：每当剖面phi(n)被一个多项式所界——我们称G为P-寡态的——，它在渐近上等价于一个多项式。1985年，Macpherson进一步询问G的轨道代数——由Cameron发明且其Hilbert函数为phi的分次交换代数——是否有限生成。本文中，我们基于带装饰块的有限置换群给出了（闭）P-寡态置换群的一个分类。由该分类可得，任何P-寡态群的轨道代数同构于某个有限置换群的不变环的（一个直接的商）。这正面回答了Cameron猜想与Macpherson问题。轨道代数事实上是Cohen-Macaulay的；因此phi的生成级数是一有理分式，其分子具有正系数，而分母容许一种组合描述。此外，该分类提供了一种用于编码闭P-寡态群的有限数据结构。这为对它们进行计算与枚举以及基于结构归纳的证明铺平了道路。最后，该分类的相对简洁性让人希望将研究扩展至例如具有次指数剖面的（闭）置换群类。证明利用了群论中的经典概念——尤其是块系统及其格性质——、交换代数与不变量理论。