整数上仿射群轨道的分类

对于每个$n=1,2,\dots$，令$\mathsf{GL}(n,\mathbb{Z})\ltimes \mathbb{Z}^n$为整数上的仿射群。对于每一点$x=(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n$，令$\mathrm{orb}(x)=\{\gamma(x)\in \mathbb{R}^n\mid\gamma\in \mathsf{GL}(n,\mathbb{Z})\ltimes \mathbb{Z}^n\}$。令$G_{x}$为由$x_1,\dots,x_n, 1$生成的加法群$\mathbb R$的子群。如果$\mathrm{rank}(G_x)\neq n$，则$\mathrm{orb}(x)=\{y\in\mathbb{R}^n\mid G_y=G_x\}$。因此，$G_x$是$\mathrm{orb}(x)$的完全分类器。相比之下，如果$\mathrm{rank}(G_x)=n$，仅凭$G_x$的知识通常不足以唯一恢复$\mathrm{orb}(x)$：事实上，$G_x$精确确定了$\mathrm{max}(1,\frac{\phi(d)}{2})$个不同的轨道，其中$d$是$G_x$中最小正非零有理数的分母，$\phi$是欧拉函数。为了获得完全分类，有理多面体几何提供了一个整数$1\leq c_x\leq \mathrm{max}(1,d/2)$，使得$\mathrm{orb}(y)=\mathrm{orb}(x)$当且仅当$(G_{x},c_{x})=(G_{y},c_{{y}})$。