几何有限群轨道的矩阵系数、计数与素数

设 G:=SO(n,1)^\circ，\Gamma 为临界指数 delta 大于 (n-1)/2 的几何有限 Zariski 稠密子群。在 L^2(\Gamma \ G) 上存在谱隙假设的条件下（对于 n=2,3 且 delta>(n-1)/2，或对于 n>=4 且 delta>n-2，该假设恒成立），我们获得了齐性空间 H\G 中 \Gamma 的离散轨道的有效阿基米德计数结果，其中 H 为平凡群、仿射对称子群或 horospherical 子群。更确切地说，我们证明了对于 H\G 中任意有效良圆紧子集族 {B_T}，存在 \eta>0，使得 #[e]\G\cap B_T=M(B_T) +O(M(B_T)^{1-\eta})，其中 M 为 H\G 上依赖于 Gamma 的显式测度。我们还应用了仿射筛法，并描述了算术背景下 \Gamma 轨道上几乎素数的分布。我们方法的关键要素之一是 L^2(\Gamma \ G) 矩阵系数的有效渐近公式，该公式通过结合谱分析、调和分析与遍历论的方法得以证明。作为我们方法的应用，还获得了 Bowen-Margulis-Sullivan 测度的有效混合性。