勾股三元组薄轨道中的殆素数

设$F=x^2+y^2-z^2$，$x_0 \in \mathbb{Z}^3$为本原向量且$F(x_0)=0$，$\Gamma \leq SO_F(\mathbb{Z})$为一个有限生成的薄子群。我们考虑由此得到的勾股三元组$x_0 \cdot \Gamma$的薄轨道——具体而言是哪些斜边、面积以及所有三个坐标的乘积会出现。当$\Gamma$的指数$\delta_\Gamma>\delta_0(R)$对于显式的$R$、$\delta_0$成立时，我们在这三种情形下产生无穷多个$R$-殆素数。