SL(2,Z)薄子群中整数的表示

设$\Gamma < SL(2,\mathbb{Z})$是一个自由、有限生成的第二类Fuchsian群，且无抛物元，并固定$\mathbb{Z}^2$中两个原始非零向量$v_0, w_0$。我们考虑所有形如$\langle v_0 \gamma, w_0 \rangle$（$\gamma \in \Gamma$）的整数构成的集合$S$。假设$\Gamma$的极限集的Hausdorff维数$\delta>0.99995$，即$\Gamma$是薄但并非过薄。利用圆法的一个变体、新的双线性形式估计以及无限体积中的Gamburd 5/6谱间隙，我们证明$S$包含几乎所有其允许的素数，即那些未被局部（同余）障碍排除的素数。此外，我们证明满足$|n|<N$且局部允许（对所有$q\ge 1$有$n \in S (\mod q)$）但未能全局表示（$n \notin S$）的整数$n$的例外集$E(N)$具有幂律节省，即存在某个$\epsilon>0$使得$|E(N)| \ll N^{1-\epsilon_0}$。