正定二次型表示的整数与 Petersson 内积

设 $Q$ 为具有整数系数的正定四元二次型。我们研究对不被 $Q$ 表示但被局部表示的最大正整数 $n$ 给出界的问题。假设 $n$ 与 $D(Q)$（$Q$ 的 Gram 矩阵行列式）互素，我们证明若 $$n \gg \max \{ N(Q)^{3/2 + \epsilon} D(Q)^{5/4 + \epsilon}, N(Q)^{2 + \epsilon} D(Q)^{1 + \epsilon} \}$$ 则 $n$ 被表示。此处 $N(Q)$ 为 $Q$ 的 level。我们给出在 $n$ 上逐次更弱的局部条件下成立的另外三个界。这些结果通过界定 theta 级数尖部分量的 Petersson 范数证明，这是利用 Scheithauer 给出的 Weil 表示显式公式实现的。