关于线性型表示平滑整数

设 $P^+(n)$ 表示整数 $n$ 的最大素因子。使用 \begin{align*}\Psi\_{F\_1\cdots F\_t}\left(\mathcal{K}\cap[-N,N]^d,N^{1/u}\right):=\\#\left\{\mathcal{K}\in {\mathbf{N}}\cap[-N,N]^d:\vphantom{P^+(F\_1(\boldsymbol{n})\cdots F\_t(\boldsymbol{n}))\leq N^{1/u}}\right.\left.P^+(F\_1(\boldsymbol{n})\cdots F\_t(\boldsymbol{n}))\leq N^{1/u}\right\}\end{align*} 其中 $(F\_1,\ldots,F\_t)$ 是 $\mathbf{Z}[X\_1,\ldots,X\_d]$ 中的一个仿射线性型组，其中没有两个是仿射相关的，且 $\mathcal{K}$ 是一个凸体。这在线性型乘积的情况下改进了 Balog、Blomer、Dartyge 和 Tenenbaum 的工作~\cite{BBDT12}。