关于连续整数的最大素因子

设 $P^+(n)$ 表示整数 $n$ 的最大素因子，$P_y^+(n)$ 表示 $n$ 的满足 $p\leqslant y$ 的最大素因子 $p$。在本文中，首先我们证明具有 $P^+(n-1)>P^+(n)<P^+(n+1)$ 和 $P^+(n-1)<P^+(n)>P^+(n+1)$ 这两种模式的连续三整数分别具有正密度。更一般地，使用相同的方法我们可以证明，对于任意 $J\in \mathbb{Z}, J\geqslant3$，具有 $P^+(n+j_0)= \min\limits_{0\leqslant j\leqslant J-1}P^+(n+j)$ 和 $P^+(n+j_0)= \max\limits_{0\leqslant j\leqslant J-1}P^+(n+j)$ 这两种模式的连续 $J$ 元组整数也分别具有正密度。其次，对于 $y=x^{\theta}$ 且 $0<\theta\leqslant 1$，我们证明存在正比例的整数 $n$ 使得 $P_y^+(n)<P_y^+(n+1)$。特别地，我们可以证明使得 $P^+(n)<P^+(n+1)$ 的整数 $n$ 的比例大于 0.1356，这改进了作者先前的结果“0.1063”。