Luca、Menares 与 Pizarro-Madariaga 一个问题的解

设 $k\ge 2$ 为正整数，$P^+(n)$ 为正整数 $n$ 的最大素因子，约定 $P^+(1)=1$。对任意 $\theta\in \left[\frac 1{2k},\frac{17}{32k}\right)$，令 $$T_{k,\theta}(x)=\sum_{\substack{p_1\cdot\cdot\cdot p_k\le x\\ P^+(\gcd(p_1-1,...,p_k-1))\ge (p_1\cdot\cdot\cdot p_k)^\theta}}1,$$ 其中 $p$ 为素数。我们证明 $$T_{k,\theta}(x)\ll_{k}\frac{x^{1-\theta(k-1)}}{(\log x)^2},$$ 结合 Wu 于 2019 年获得的下界 $$T_{k,\theta}(x)\gg_{k}\frac{x^{1-\theta(k-1)}}{(\log x)^2},$$ 回答了 Luca、Menares 与 Pizarro-Madariaga 在 2015 年提出的关于 $T_{k,\theta}(x)$ 确切数量级的问题。证明中的一个主要新颖之处在于，我们不使用 Brun--Titchmarsh 定理来估计算术级数中素数的第 $k$ 次移动，而是将该移动转化为涉及素数经线性平移同时取素数的估计。