关于包含特殊类型素数的二元丢番图不等式

设 $1<c<\frac{1787}{1502}$，$N$ 为一个充分大的实数。本文证明，对于任意充分大的数 $E>0$ 以及几乎所有实数 $R \in (N,2N]$，丢番图不等式 $$|p_{1}^{c}+p_{2}^{c}-R|<(log N)^{-E}$$ 在素数变量 $p_1,p_2$ 中可解，且每个数 $p_{1}+2,p_{2}+2$ 按重数计算至多有 $[\frac{79606}{35740-30040c}]$ 个素因子。此外，我们证明丢番图不等式 $$|p_{1}^{c}+p_{2}^{c}+p_{3}^{c}+p_{4}^{c}-N|<(log N)^{-E}$$ 在素数变量 $p_1,p_2,p_3,p_4$ 中可解，且每个数 $p_{i}+2(i=1,2,3,4)$ 按重数计算至多有 $[\frac{93801402}{35740000-30040000c}]$ 个素因子。