关于涉及素数与殆素数的丢番图不等式

我们证明了 $$|\lambda_0+\lambda_1p+\lambda_2P_r|<p^{-\tau},$$ 有无穷多解，其中 $r=3,$ $\tau=\frac1{118}$，且 $\lambda_0$ 为任意实数，$\lambda_1,\lambda_2\in\BR$ 满足 $\lambda_2\neq0$ 且 $0>\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ 不属于 $\mathbb{Q}$。这改进了 Harman 的结果。此外，我们表明可要求素数 $p$ 具有形式 $\floor{n^c}$（对某些正整数 $n$），即 $p$ 为 Piatetski-Shapiro 素数，其中 $r=13$ 且 $\tau=\rho(c)$，一个由 $c$ 显式确定的常数，支撑在 $\left(1, 1+\frac1{149}\right]$ 中。