关于Hecke本征形式非零傅里叶系数的最大素因子

令 $\tau$ 表示Ramanujan tau函数。人们对 $\tau$ 函数可能的素数值感兴趣。由于 $\tau$ 是可乘的，且 $\tau(n)$ 为奇数当且仅当 $n$ 是奇平方数，我们只需考虑素数 $p$ 和自然数 $n \geq 1$ 时的 $\tau(p^{2n})$。这是一个相当微妙的问题。在此方向上，我们证明了对任意 $\epsilon > 0$ 和整数 $n \geq 1$，$\tau(p^{2n})$ 的最大素因子，记为 $P(\tau(p^{2n}))$，对于几乎所有素数 $p$ 满足 $$P(\tau(p^{2n})) ~>~ (\log p)^{1/8}(\log\log p)^{3/8 -\epsilon}$$。这改进了Bennett、Gherga、Patel和Siksek的近期工作。我们的结果对任何具有整数傅里叶系数的非CM归一化Hecke本征形式也成立。