关于二元 Siegel 尖形式 Fourier 系数与 Hecke 特征值

我们研究附属于标量值 Siegel 尖形式 $F$（度数 2、权 $k$、水平 $N$）的 Fourier 系数与 Hecke 特征值的一些关键解析性质。首先，假设 $F$ 是一个非 Saito-Kurokawa 型的 Hecke 本征形式，我们证明了其 Hecke 特征值为负的极小素数在 $k$ 方面的改进界。其次，我们证明在位于一个算术级数中的素数处，$F$ 的 Hecke 特征值之间存在无穷多次变号。第三，我们证明在任意由某个固定基本矩阵的素数倍组成的“径向”序列中，存在无穷多个正的以及无穷多个负的 Fourier 系数。最后我们考虑 $F$ 为 Saito–Kurokawa 型的情况，并对此情形证明了（本质锐利的）界 $| a(T) | ~\ll_{F, \epsilon}~ \big( \det T \big)^{\frac{k-1}{2}+\epsilon}$ 对 $F$ 的 Fourier 系数成立，只要 $\gcd(4 \det(T), N)$ 是无平方因子的，从而确认了 Das 与 Kohnen 提出的一个猜想（在 $N=1$ 的情形）。