关于 Saito-Kurokawa 点处的 Siegel 特征簇

我们研究具有 paramodular tame level 的 $p$-进 Siegel 特征簇 $\mathcal{E}$ 在某些具有临界斜率的 Saito-Kurokawa 点处的几何。对于 $k \geq 2$，设 $f$ 为 $\mathrm{S}_{2k-2}(\Gamma_0(N))$ 的尖点新特征形式，在素数 $p\nmid N$ 处常型，符号为 $\epsilon_f=-1$，记 $\alpha$ 为 $f$ 在 $p$ 处的 Hecke 多项式的 $p$-进单位根。设 $\pi_\alpha$ 为尖点形式 $f$ 到 $\mathrm{GSp}(4)$ 的 Saito-Kurokawa 提升的半常型 $p$-稳定化，其权为 $(k,k)$ 且具有 paramodular tame level。在假设依附于 $f$ 的 Selmer 群 $H^1_{f,\mathrm{unr}}(\mathbb{Q},\rho_f(k-1))$ 的维数至多为 1，以及对依附于 $f$ 的自守表示作一些温和假设的前提下，我们证明 $\mathcal{E}$ 在对应于 $\pi_\alpha$ 的点处是光滑的，并且特化到 $\pi_\alpha$ 的 $\mathcal{E}$ 的不可约分支不是全局内自守的。最后，我们给出对 Bloch-Kato 猜想的一个应用，在一些温和假设下证明 $\mathcal{E}$ 在 $\pi_\alpha$ 处的光滑性失败将导致 $\dim H^1_{f,\mathrm{unr}}(\mathbb{Q},\rho_f(k-1))\geq 2$。