附属于 GL(4) 上代数自守形式的 p-adic 表示的分解与奇偶性

设 $F$ 为数域，$\mathbb{A}_F$ 为其 adele 环，$\pi$ 为 $GL_4(\mathbb{A}_F)$ 的一个具有固定 Archimedean 权重的等obaric、代数自守表示，且为准正则的，即对于 $F$ 的每个 Archimedean 位 $v$，附属于 $\pi_v$ 的 Weil 群 $W_{F_v}$ 的 4 维表示 $\sigma_v$ 是无重数的。假设存在一个关联的 4 维 Hodge-Tate $p$-adic 表示 $\rho$（属于绝对 Galois 群 $G_F$），其局部 $L$-因子在 $F$ 的几乎所有素数 $P$ 处与 $\pi$ 的局部 $L$-因子一致（至多相差一个平移）。我们的第一个结果是：$\rho$ 的半单化不包含任何偶的不可约 2 维 Galois 表示。第二个结果是：如果 $\pi$ 是正则的且 $\rho$ 是晶体的，那么对于充分大的 $p$（见文章中的精确陈述），$\rho$ 的分解类型与 $\pi$ 的等obaric 类型相同。一个推论是，当 $\pi$ 是尖点的（且正则代数的）时，$\rho$ 是不可约的，这也由 F. Calegari 和 T. Gee 证明过，事实上无需对 $p$ 作假设。第三个也是最后一个结果，利用 Taylor 的潜在模性定理，指出给定一对 $(\sigma, \sigma')$ 具有相同权重且不同 Hodge-Tate 类型的奇 2 维 $p$-adic 表示，若其直和是自守的，则对于大 $p$，$\sigma$ 的对偶与 $\sigma'$ 的张量积 $\eta$ 的 $G_F$-不变量的维数等于 $\eta$ 的 $L$-函数（去除坏因子后）在 $s=1$ 处的极点阶数。这与 Tate 猜想当 $\sigma, \sigma'$ 出现在 $F$ 上光滑射影簇的 $p$-adic etale 上同调中时的预测一致，同时也提供了与 C. Skinner 和 E. Urban 部分工作的有用联系。