类型 $A_1$ 自同型 Galois 表示的单轨迹与不可约性

设 $K$ 为一个全实域，$\pi$ 为 $\mathrm{GL}_n(\mathbb A_K)$ 上一个规则代数极化准 cuspidal 自同态表示。设 $\{\rho_{\pi,\lambda}:\mathrm{Gal}_K\to\mathrm{GL}_n(\overline E_\lambda)\}_\lambda$ 为 $\pi$ 附属于 $\pi$ 的兼容 Galois 表示系统，记 $\mathbf G_\lambda$ 为 $\rho_{\pi,\lambda}$ 的代数单轨迹群。若存在 $\lambda_0$ 使得 (a) $\rho_{\pi,\lambda_0}$ 不可约；(b) $\mathbf G_{\lambda_0}$ 连通且类型为 $A_1$；(c) $\mathbf G_{\lambda_0}$ 的标准表示为某种特定类型。我们证明：$\bullet$ $\mathbf G_{\lambda,\mathbb C}\subset\mathrm{GL}_{n, \mathbb C}$ 对所有 $\lambda$ 均独立；$\bullet$ $\rho_{\pi,\lambda}$ 对所有 $\lambda$ 均不可约，且对大多数 $\lambda$ 残基不可约。此外，若 $K=\mathbb Q$ 或 $n$ 为奇数，我们证明在不假设 $\pi$ 为极化的情况下同样成立。我们还证明若 $K=\mathbb Q$，则该兼容系统 $\{\rho_{\pi,\lambda}\}_\lambda$ 可由某些二维模ular compatible 系统通过移位构成。