mod $p$ Hecke 代数中 Galois 表示的像

设 $(\mathbb{T}_f,\mathfrak{m}_f)$ 为附加于正规化 Hecke 特征形式 $f$ 的 mod $p$ 局部 Hecke 代数，它是特征为 $p$ 的某有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的交换代数，且剩余域为 $\mathbb{F}_q$。根据 Carayol 的结果我们知道，如果剩余 Galois 表示 $\overline{\rho}_f:G_\mathbb{Q}\rightarrow\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$ 是绝对不可约的，那么就可以给该代数附加一个 Galois 表示 $\rho_f:G_\mathbb{Q}\rightarrow\mathrm{GL}_2(\mathbb{T}_f)$，它是 $\overline{\rho}_f$ 的提升。我们将展示在以下假设下如何确定 $\rho_f$ 的像：$(i)$ 剩余表示的像包含 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_q)$，$(ii)$ $\mathfrak{m}_f^2=0$，以及 $(iii)$ 系数环由迹生成。作为应用，我们将看到我们所使用的方法允许推导出大型不可解数域的某些 $p$-初等阿贝尔扩张的存在性。