在单个素数处分歧且具有适当大图像的 Galois 表示

设 $p\geq 7$ 为素数，$n>1$ 为自然数。我们证明存在无穷多个 Galois 表示 $\varrho:Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow GL_{n}(\mathbb{Z}_p)$，其在 $\{p, \infty\}$ 外非分歧且图像较大。更确切地说，所构造的 Galois 表示其图像包含模-$p^t$ 约化映射 $SL_n(\mathbb{Z}_p)\rightarrow SL_n(\mathbb{Z}/p^t\mathbb{Z})$ 的核，其中 $t:=8(n^2-n)\left(3+\lfloor log_p(2^n+1)\rfloor\right)+8$。结果通过纯 Galois 理论提升构造证明。当 $p\equiv 1\mod{4}$ 时，我们的结果是有条件的，因为在此情形下我们假设了非常弱的 Vandiver 猜想。