1 级 Hecke 本征形式的傅里叶系数

Lehmer 于 1947 年关于 $\tau(n)$ 是否取零值的猜想至今未决。在此背景下，考虑 Lehmer 猜想的变体是自然的。我们确定了诸多不可能作为 $\tau(n)$ 值的整数。例如，在满足 $|\alpha|<99$ 的奇数 $\alpha$ 中，我们确定 $$\tau(n) \notin \{-9, \pm 15, \pm 21, -25, -27, -33, \pm 35, \pm 45, \pm 49, -55, \pm 63, \pm 77, -81, \pm 91 \}.$$ 此外，在 GRH 下，我们有 $\tau(n) \neq -|\alpha|$ 且 $\tau(n) \notin \{9,25,27,39,$ $75,81\}.$ 我们也考虑在尖形式的一维空间中 1 级 Hecke 本征形式。例如，对于 $\Delta E_4 = \sum_{n = 1}^{\infty} \tau_{16}(n)q^n$，我们证明 \begin{align*}\tau_{16}(n) \notin &\{\pm \ell: 1\leq \ell \leq 99, \ell \text{ is odd}, \ell \neq 33,55,59,67,73,83,89,91\} \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \cup \{-33,-55,-59,-67,-89,-91\}.\end{align*} 进而，我们运用 Swinnerton-Dyer 给出的同余式排除整除特定 Bernoulli 数分子的其他大素数。为获得这些结果，我们利用了 Lucas 序列理论、求解高次 Thue 方程的方法、Barros 求解超椭圆方程的算法以及连分数理论。