D. H. Lehmer猜想玩具模型的一个初等方法
组合数学
2015-05-18 v1 数论
摘要
1947年，Lehmer猜想拉马努金τ函数τ(m)对所有正整数m永不为零，其中τ(m)是权12的尖点形式Δ_{24}的第m个傅里叶系数。球面t-设计理论与Lehmer猜想密切相关，因为Venkov、de la Harpe和Pache证明了τ(m)=0等价于E_{8}格点中范数为2m的壳层是一个球面8-设计。因此，Lehmer猜想可以用球面t-设计的语言重新表述。Lehmer猜想难以证明，至今仍未解决。然而，Bannai-Miezaki证明了R^2中整数格点Z^2的任何非空壳层都不是球面4-设计，且六边形格点A_2的任何非空壳层都不是球面6-设计。此外，除Q(√-1)和Q(√-3)外，类数为1或2的虚二次域代数整数所关联的整数格点的任何非空壳层都不是球面2-设计。在证明中，模形式理论发挥了重要作用。最近，Yudin找到了Z^2格点情形的一个初等证明，该证明不使用模形式理论，而是使用了Calcut的最新结果。本文给出了这个初等（即无模形式）证明，并讨论了Calcut结果与虚二次域理论之间的关系。
引用
@article{arxiv.1003.4414,
title = {An elementary approach to toy models for D. H. Lehmer's conjecture},
author = {Eiichi Bannai and Tsuyoshi Miezaki and Vladimir A. Yudin},
journal= {arXiv preprint arXiv:1003.4414},
year = {2015}
}
备注
18 pages