显式 Sato-Tate 猜想与涉及 Lehmer 型问题的密度

设 $f(z)=\sum_{n=1}^\infty a(n)q^n\in S^{\text{new}}_ k (\Gamma_0(N))$ 为一个不具有复乘、且级 $N$ 无平方因子的新形式。对于素数 $p$，定义 $\theta_p\in[0,\pi]$ 为满足 $a(p)=2p^{( k -1)/2}\cos \theta_p$ 的角度。设 $I\subset[0,\pi]$ 为一个闭子区间，并设 $d\mu_{ST}=\frac{2}{\pi}\sin^2\theta d\theta$ 为 $I$ 的 Sato-Tate 测度。假设 $f$ 的对称幂 $L$-函数满足某些解析性质（所有这些均源自 Langlands 函子性猜想和广义 Riemann 猜想），我们证明若 $x$ 足够大，则 $$\left|\#\{p\leq x:\theta_p\in I\} -\mu_{ST}(I)\int_2^x\frac{dt}{\log t}\right|\ll\frac{x^{3/4}\log(N k x)}{\log x}$$ 其中隐含常数为 $3.34$。通过令 $I$ 为以 $\frac{\pi}{2}$ 为中心的短区间并使用平滑截断计数素数，我们计算了使得 $a(n)\neq0$ 的正整数 $n$ 的密度下界。特别地，若 $\tau$ 为 Ramanujan tau 函数，则在上述假设下，我们证明 $$\lim_{x\to\infty}\frac{\#\{n\leq x:\tau(n)\neq0\}}{x}>1-1.54\times10^{-13}.$$ 我们还讨论了使得 $a(n)\neq0$ 的正整数 $n$ 的密度与某些正定整值二次型表示 $n$ 的数量之间的联系。