素数理想集密度的 Möbius 公式

我们将 Alladi、Dawsey 以及 Sweeting 和 Woo 关于 Chebotarev 密度的结果推广到素数集的一般密度。我们证明，若 $K$ 是一个数域，$S$ 是素理想中任意具有自然密度 $\delta(S)$ 的集合，则 $$-\lim_{X \to \infty}\sum_{\substack{2 \le \operatorname{N}(\mathfrak{a})\le X\\ \mathfrak{a} \in D(K,S)}}\frac{\mu(\mathfrak{a})}{\operatorname{N}(\mathfrak{a})} = \delta(S),$$ 其中 $\mu(\mathfrak{a})$ 是广义 Möbius 函数，$D(K,S)$ 是满足其极小范数的唯一素因子属于 $S$ 的整理想 $\mathfrak{a} \subseteq \mathcal{O}_K$ 的集合。我们的结果可用于给出各类素数集合密度的公式，包括位于固定椭圆曲线的 Sato-Tate 区间内的素数，以及位于如 $\lfloor\pi n\rfloor$ 之类的 Beatty 序列中的素数。