Chebotarev 密度的一个新公式

我们给出了 Galois 群中 Frobenius 元素的 Chebotarev 密度的一个新公式。该公式以整数 $n\geq2$ 的最小素因子 $p_{\mathrm{min}}(n)$ 表示。更确切地说，设 $C$ 是 $\mathbb{Q}$ 的某个有限 Galois 扩张 $K$ 的 Galois 群的一个共轭类。那么我们证明 $$-\lim_{X\rightarrow\infty}\sum_{\substack{2\leq n\leq X\[1pt]\left[\frac{K/\mathbb{Q}}{p_{\mathrm{min}}(n)}\right]=C}}\frac{\mu(n)}{n}=\frac{\#C}{\#G}.$$ 该定理是 Alladi 1977 年一个结果的推广，该结果断言最大素因子 $p_{\mathrm{max}}(n)$ 在模整数 $k$ 的算术级数中是等分布的，这发生在 $K$ 是分圆域 $\mathbb{Q}(\zeta_k)$ 时。