数域Galois扩张的Chebotarev密度公式

我们将Dawsey (2017)与Alladi (1977)的Chebotarev密度公式推广到任意有限Galois数域扩张$L/K$的情形。特别地，若$C \subset G = \textrm{Gal}(L/K)$是一个共轭类，则我们确立Chebotarev密度为如下$K$的理想部分和之极限：$$-\lim_{X\rightarrow\infty} \sum_{\substack{2\leq N(I)\leq X \\ I \in S(L/K; C)}} \frac{\mu_K(I)}{N(I)} = \frac{|C|}{|G|},$$其中$\mu_K(I)$表示广义Möbius函数，$S(L/K;C)$是满足如下条件的理想$I\subset \mathcal{O}_K$的集合：$I$具有唯一最小范数的素因子$\mathfrak{p}$，且Artin符号$\left[\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right]$为$C$。为得到此公式，我们将经典解析数论中的若干结果以及Alladi关于最小与最大素因子的对偶概念推广到数域中理想的情形。