$\mathbb{F}_q(T)$ 扩张的短区间切博塔廖夫密度定理

数论中一个长期未决的问题是切博塔廖夫密度定理在短区间内是否成立。更确切地说,给定一个伽罗瓦扩张 $E/\mathbb{Q}$,其伽罗瓦群为 $G$,$G$ 中的一个共轭类 $C$ 以及一个满足 $1\geq \varepsilon>0$ 的 $\varepsilon$,人们希望计算满足弗罗贝尼乌斯共轭类在 $E$ 中等于 $C$ 的素数 $x\leq p\leq x+x^{\varepsilon}$ 的个数的渐近式。困难程度随 $\varepsilon$ 变小而增大。在广义黎曼假设下,人们仅能达到 $1\geq\varepsilon>1/2$ 的范围。我们建立了任意 $\varepsilon>0$ 时短区间切博塔廖夫定理的函数域类比。我们的结果在有限域大小趋于 $\infty$ 且扩张在无穷远处驯顺分歧的极限情形下成立。方法基于一个高维显式切博塔廖夫定理,并应用于我们称之为 $G$-分解算术函数的更一般的算术函数情形。