几乎所有素数满足Atkin-Serre猜想且非极值

设 $f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} a_f(n)e^{2\pi i n z}$ 为平凡余型且偶整数权 $k\geq 2$ 的非CM全纯尖形式新形式。Deligne对Weil猜想的证明表明对所有素数 $p$ 有 $|a_f(p)|\leq 2p^{\frac{k-1}{2}}$。我们证明对100%的素数 $p$ 有 $2p^{\frac{k-1}{2}}\frac{\log\log p}{\sqrt{\log p}}<|a_f(p)|<\lfloor 2p^{\frac{k-1}{2}}\rfloor$。我们的证明给出了例外集大小的有效上界。下界表明Atkin-Serre猜想对100%的素数成立，上界表明 $|a_f(p)|$ 尽可能大（即 $p$ 对 $f$ 是极值的）的素数占0%。我们的证明使用了第二作者证明的Sato-Tate猜想的有效形式，其依赖于Newton与Thorne近期关于 $f$ 的对称幂自守性的证明。