关于 Apagodu 和 Zeilberger 的两个猜想超同余

设数字 $\alpha_n,\beta_n$ 和 $\gamma_n$ 分别表示 \begin{align*} \alpha_n=\sum_{k=0}^{n-1}{2k\choose k},\quad \beta_n=\sum_{k=0}^{n-1}{2k\choose k}\frac{1}{k+1}\quad\text{和}\quad \gamma_n=\sum_{k=0}^{n-1}{2k\choose k}\frac{3k+2}{k+1}, \end{align*}。我们证明，对于任意素数 $p\ge 5$ 和正整数 $n$，有 \begin{align*} \alpha_{np}&\equiv \left(\frac{p}{3}\right) \alpha_n \pmod{p^2},\\ \beta_{np}&\equiv \begin{cases} \displaystyle \beta_n \pmod{p^2},\quad &\text{若 $p\equiv 1\pmod{3}$},\\ -\gamma_n \pmod{p^2},\quad &\text{若 $p\equiv 2\pmod{3}$}, \end{cases} \end{align*}，其中 $\left(\frac{\cdot}{p}\right)$ 表示 Legendre 符号。这两个超同余最近由 Apagodu 和 Zeilberger 提出猜想。