例外零公式与 Perrin-Riou 猜想

设 $A/\mathbb{Q}$ 为在素数 $p$ 处具有分裂乘性约化的椭圆曲线。我们证明了 Perrin-Riou 猜想的一个类比，该猜想将 $p$-adic Beilinson$-$Kato 元素与 $A(\mathbb{Q})$ 中的 Heegner 点联系起来，并证明了关于 $A$ 的分圆 $p$-adic $L$-函数的 Mazur$-$Tate$-$Teitelbaum 例外零猜想的秩为一情形的大部分结论。更一般地，设 $f$ 为与 $A$ 关联的权为 2 的新形式，$f_{\infty}$ 为 $f$ 的 Hida 族，$L_{p}(f_{\infty},k,s)$ 为附属于 $f_{\infty}$ 的 Mazur$-$Kitagawa 双变量 $p$-adic $L$-函数。我们证明了一个 $p$-adic Gross$-$Zagier 公式，将 $L_{p}(f_{\infty},k,s)$ 在 $(k,s)=(2,1)$ 处的 Taylor 展开式的二次项表示为 $A(\mathbb{Q})$ 中某 Heegner 点的扩展高度 - 权重的非零有理倍数。