Gross、Zagier和Kolyvagin定理的一个逆定理

设$E$是$\mathbb{Q}$上的半稳定椭圆曲线。我们证明：如果$E$在至少一个奇素数处具有非分裂乘性约化，或在至少两个奇素数处具有分裂乘性约化，并且$E(\mathbb{Q})$的秩为1且$E$的Tate-Shafarevich群阶有限，则$\mathrm{ord}_{s=1}L(E,s)=1$。我们还证明了与权2、平凡特征的模形式$f$相关联的阿贝尔簇的相应结果。这些结果以及其他相关结果是我们主要定理的推论，该定理建立了$f$和$H^1_f(\mathbb{Q},V)$（其中$V$是与$f$相关的$p$进伽罗瓦表示）的判据，以确保$\mathrm{ord}_{s=1}L(f,s)=1$。该主要定理通过使用$V$在虚二次域上的Iwasawa理论来证明合适的Heegner点的$p$进对数非零。