由 Kolyvagin 类构造的 Tate-Shafarevich 群元素的显式实现

我们从计算视角考虑与定义在 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线 $E$ 相关的 Kolyvagin 上同调类。我们解释如何从一个类作为 $(E(L)/pE(L))^{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})}$ 中的元素的模型,其中 $p$ 为素数且 $L$ 为 $\mathbb{Q}$ 的阶为 $2p$ 的二面体扩张,过渡到作为嵌入于 $\mathbb{P}^{p-1}$ 中的亏格一曲线的几何模型。我们将现有的计算 Heegner 点的方法调整至我们的情形,并将其显式计算为 $E(L)$ 中的元素。最后,我们对若干表示 $E$ 的 Tate-Shafarevich 群的 p-挠部分中非平凡元素的亏格一曲线计算了显式方程,其中 $p \leq 11$,因此构成了 Hasse 原理的反例。