Sato-Tate 猜想中的误差项

设 $f(z)=\sum_{n=1}^\infty a(n)e^{2\pi i nz}\in S_k^{new}(\Gamma_0(N))$ 是一个权为偶数 $k\geq2$ 且不具有复乘的新形式 (newform)。则对所有 $n$ 有 $a(n)\in\mathbb{R}$，因此对任意素数 $p$，存在 $\theta_p\in[0,\pi]$ 使得 $a(p)=2p^{(k-1)/2}\cos(\theta_p)$。设 $\pi(x)=\#\{p\leq x\}$。对于给定的子区间 $I\subset[0,\pi]$，现已证明的 Sato-Tate 猜想告诉我们，当 $x\to\infty$ 时，$$\#\{p\leq x:\theta_p\in I\}\sim \mu_{ST}(I)\pi(x),\quad \mu_{ST}(I)=\int_{I} \frac{2}{\pi}\sin^2(\theta)~d\theta.$$ 设 $\epsilon>0$。假设 $f$ 的对称幂 $L$-函数是自守的，我们证明当 $x\to\infty$ 时，$$\#\{p\leq x:\theta_p\in I\}=\mu_{ST}(I)\pi(x)+O\left(\frac{x}{(\log x)^{9/8-\epsilon}}\right),$$ 其中隐含常数可有效计算，且仅依赖于 $k,N,$ 和 $\epsilon$。