关于 $\zeta(s)$ 的新型零密度估计与素数定理误差项

本文将提供关于 $\zeta(s)$ 的一种新型零密度估计，当 $\sigma$ 接近 1 时尤为适用。具体而言，我们将证明当 $\sigma$ 接近科罗巴-维根斯坦零自由区域的左侧边缘时，$N(\sigma,T)$ 可以被界定为一个绝对常数。作为 consequence，我们给出素数定数中误差项的最优形式：$$\psi(x)-x \ll x\exp \left\{-(1-\varepsilon) \omega(x)\right\},\qquad \omega(x):=\min _{t \geq 1}\{\nu(t) \log x+\log t\},$$ 其中 $\nu(t)=A_0(\log t)^{-2/3}(\log\log t)^{-1/3}$ 为递减函数，使得 $\zeta(\sigma+it)\neq 0$ 当 $\sigma\ge 1-\nu(t)$。精确地，我们将证明可以取 $\varepsilon=0$。