零密度估计与素数定理误差项的最优性

我们展示了通用零自由区和零密度估计对素数定理误差项的影响.因此,我们能够超越Pintz的先前工作,为某些零自由区的选择提供近乎最优的误差项.作为例子,我们证明如果不存在零点 $\rho=\beta+it$ 满足 \begin{equation*} 1-\beta<\frac{1}{c(\log t)^{2/3}(\log\log t)^{1/3}}=:\eta(t), \end{equation*},则 \begin{equation*} \frac{|\psi(x)-x|}{x}\ll\exp(-\omega(x))\frac{(\log x)^9}{(\log\log x)^3}, \end{equation*}其中 $\psi(x)$ 为切比雪夫素数计数函数,且 \begin{equation*} \omega(x)=\min_{t\geq 3}\{\eta(t)\log x+\log t\}. \end{equation*}这细化了素数定数已知的最佳误差项,此前给出 \begin{equation*} \frac{|\psi(x)-x|}{x}\ll_{\varepsilon}\exp(-(1-\varepsilon)\omega(x)) \end{equation*} 对任意 $\varepsilon>0$.