Birch 的 Sato-Tate 定理中的误差项

我们建立了 Birch 的 Sato-Tate 定理中的一个误差项。即，对于素数 $p$、$q=p^r$，我们证明对任意区间 $I\subseteq[0,\pi]$ 有 $\#\{ (a,b) \in \mathbb{F}_q^2 : \theta_{a,b}\in I\} =\mu_{ST}(I)q^2 + O_r(q^{7/4})$，其中对于椭圆曲线 $E: y^2= x^3 +ax +b$，量 $\theta_{a,b}$ 由 $2\sqrt{q}\cos\theta_{a,b} = q+1-E(\mathbb{F}_q)$ 定义，$\mu_{ST}(I)$ 表示区间 $I$ 的 Sato-Tate 测度。