关于 Birch 与 Erdős 一个定理的注记

设 $p,q>1$ 为两个互素的整数，$\mathbb{N}$ 为非负整数集合。令 $f_{p,q}(n)$ 为将 $n$ 表示为取自 $\{p^{\alpha}q^{\beta}:\alpha,\beta\in \mathbb{N}\}$ 的不同项之和的不同表达式的个数。Erdős 猜想并由 Birch 随后证明：只要 $n$ 足够大，就有 $f_{p,q}(n)\ge 1$。在本文中，对于所有足够大的数 $n$，我们证明 $$f_{p,q}(n)=2^{\frac{(\log n)^2}{2\log p\log q}\big(1+O(\log\log n/\log n)\big)}.$$ 我们还证明了 $\lim_{n\rightarrow\infty}f_{2,q}(n+1)/f_{2,q}(n)=1$。此外，我们将指出 $f_{2,q}(n)$ 与 $m$ 进制划分之间的关系。